Question

如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連接AE，DE，DC．
（1）求證：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)；
（3）D為AB延長線上一點，點E在BC邊所在射線上，且BE=BD=2AB，計算AE與CD所在直線的夾角，如果△ABC的面積是1，連接DE，計算△ADE的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）直接運用HL定理證明即可解決問題．
（2）求出∠AEB=75°；證明∠BDC=∠AEB，即可解決問題．
（3）證明∠BDC=∠BEA，得到∠AFD=90°；由面積公式求出AB的長度，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
在直角△ABE與△CBD中，

AB=BC BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（HL）．
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，而∠EAC=30°，
∴∠AEB=45°+30°=75°；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
（3）如圖2，類似（1）中的方法，同理可證：△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠BEA；
∵∠BEA+∠BAC=90°，
∴∠BDC+∠BEA=90°，
∴∠AFD=90°，
即AE與CD所在直線的夾角為90°；
∵

1

2

AB•BC=1，AB=BC，
∴AB=

2

，BE=BD=2

2

，
∴計算△ADE的面積=

1

2

×2

2

×

2

+

1

2

×2

2

×2

2

=2+4=6．

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；牢固掌握定理內(nèi)容是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．