Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點（點A在點B的左邊），C、D為y軸上兩點，經(jīng)過A、C、B的拋物線的一部分C₁與經(jīng)過A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點D的坐標(biāo)為（0，-2），拋物線C₁的解析式為y=mx²-2mx-3m（m＜0）．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）若四邊形ACBD是梯形，求m的值；
（3）若點D關(guān)于x軸的對稱點為D₁，試判斷直線AD₁與該蛋線的公共點的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）在函數(shù)y=mx²-2mx-3m中，令y=0，則mx²-2mx-3m=0，根據(jù)m＜0可知x²-2x-3=0，由此可得出AB兩點的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)A，B，D三點的坐標(biāo)得出AO，BO，DO的長，在函數(shù)y=mx²-2mx-3m（m＜0）中，令x=0，則y=-3m，故可得出C點坐標(biāo)，再分AC∥BD，BC∥AD兩種情況進行分類討論；
（3）根據(jù)點D₁與點D關(guān)于x軸對稱可得出D₁的坐標(biāo)，故可得出直線AD₁的方程，易知直線AD₁與拋物線C₂只有一個公共點A，聯(lián)立直線AD₁和拋物線C₁的方程可得出x₁，x₂=-1的值，由m＜0，可知3+$\frac{2}{m}$＜3，再分當(dāng)3+$\frac{2}{m}$＞-1與3+$\frac{2}{m}$≤-1兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）在函數(shù)y=mx²-2mx-3m中，令y=0，則mx²-2mx-3m=0，
∵m＜0，
∴x²-2x-3=0，
解得 x₁=3，x₂=-1．
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（3，0），D（0，-2），
∴AO=1，BO=3，DO=2．
在函數(shù)y=mx²-2mx-3m（m＜0）中，令x=0，則y=-3m，
∴C（0，-3m），
則OC=-3m．
①若AC∥BD，則△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{BO}{DO}$，
∴$\frac{1}{-3m}$=$\frac{3}{2}$，
解得m=-$\frac{2}{9}$，
此時AC≠BD，四邊形ACBD是梯形．
②若BC∥AD，
則△AOD∽△BOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{-3m}$，
解得m-2，
此時AD≠BC，四邊形ACBD是梯形．
綜上所述，m=-$\frac{2}{9}$或-2．

（3）∵點D₁與點D關(guān)于x軸對稱，
∴D₁（0，2）．
則直線AD₁的方程為：y=2x+2，
易知直線AD₁與拋物線C₂只有一個公共點A，
下面只要考慮直線AD₁與拋物線C₁的公共點個數(shù)．
聯(lián)立直線AD₁和拋物線C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\ y={mx}^{2}-2mx-3m\end{array}\right.$，故mx²-（2m+2）x-3m-2=0，
解得x₁=3+$\frac{2}{m}$，x₁=-1．
∵m＜0，
∴3+$\frac{2}{m}$＜3．
①當(dāng)3+$\frac{2}{m}$＞-1，即m＜-$\frac{1}{2}$時，
直線AD₁與該蛋線有兩個公共點；
②當(dāng)3+$\frac{2}{m}$≤-1，即-$\frac{1}{2}$≤m＜0時，
直線AD₁與該蛋線只有一個公共點A．
綜上所述，當(dāng)m＜-$\frac{1}{2}$時，直線AD₁與該蛋線有兩個公共點；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤m＜0時，直線AD₁與該蛋線有一個公共點．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到拋物線與x軸的交點、梯形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)鄧州市，難度較大．