Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=

 

；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問AP•CQ的值是否改變？說明你的理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

分析：（1）可通過證△APD∽△CDQ來求解．
（2）不會改變，關(guān)鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關(guān)鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉(zhuǎn)而得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結(jié)論不變．
（3）本題分類兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0°＜α＜45°時②當(dāng)45°≤α＜90°時．

解答：解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案為：8．

（2）AP•CQ的值不會改變．
理由如下：
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，
∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴

AP

AD

=

CD

CQ

．
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（

1

2

AC）²=8．

（3）情形1：當(dāng)0°＜α＜45°時，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此時兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=

8

x

于是y=

1

2

AB•BC-

1

2

CQ•DN-

1

2

AP•DG
=8-x-

8

x

（2＜x＜4）
情形2：當(dāng)45°≤α＜90°時，0＜CQ≤2時，即0＜x≤2，此時兩三角板重疊部分為△DMQ，
由于AP=

8

x

，PB=

8

x

-4，易證：△PBM∽△DNM，
∴

BM

MN

=

PB

DN

即

BM

2-BM

=

PB

2

解得BM=

2PB

2+PB

=

8-4x

4-x

．
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-

8-4x

4-x

．
于是y=

1

2

MQ•DN=4-x-

8-4x

4-x

（0＜x≤2）．
綜上所述，當(dāng)2＜x＜4時，y=8-x-

8

x

．
當(dāng)0＜x≤2時，y=4-x-

8-4x

4-x

（或y=

x2-4x+8

4-x

）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用．