Question

如圖所示，四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，∠BEG與∠CFH都是銳角，已知EG=3，F(xiàn)H=4，四邊形EFGH的面積是5．求正方形ABCD的面積．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過E、F、G、H分別作AB、BC、CD、DA的垂線，構(gòu)造矩形PQRT．利用勾股定理求的正方形ABCD的邊長，然后由S_△AEH=S_△TEH，S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH推知（EG²+FH²-4S）a²=EG²FH²-4S²．

解答：解：過E、F、G、H分別作AB、BC、CD、DA的垂線，得矩形PQRT．
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，PQ=b，QR=c，
∵EG=3，F(xiàn)H=4，四邊形EFGH的面積是5，
∴b=

EG2-a2

=

9-a2

，c=

FH2-a2

=

16-a2

，
由S_△AEH=S_△TEH，
S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH
得S_ABCD+S_PQRT=2S_{四邊形EFGH}，
∴a²+bc=2S，即a²+

9-a2

•

16-a2

=2S_{四邊形EFGH}，
又∵四邊形EFGH的面積是5，
∴a²+

9-a2

•

16-a2

=10，
解得，a²=

44

5

，即正方形ABCD的面積是

44

5

．

點評：本題主要考查了三角形的面積、正方形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，在解題時需靈活運用圖中的直角三角形和矩形的性質(zhì)．