Question

△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分線，ED⊥BC．
①請你寫出圖中所有的等腰三角形；
②若BC=10，求AB+AE的長．

Answer 1

解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠8=45°，
又∵DE⊥BC，
∴∠EDC=90°，∠7=∠8=45°，DE=DC，
故△DCE為等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分線，∠BAC=∠ACB=90°，
∴AE=DE，
故△ADE為等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△DBF，∠3=∠4，AB=BD，
故△ABD為等腰三角形．
故圖中所有的等腰三角形為△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共四個；

②由①可知△AED為等腰三角形，△ABD為等腰三角形，△CDE為等腰三角形．
故AB=BD，AE=DE=CD，
∴AB+AE=BD+CD=BC=10．
分析：①如圖，根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE為等腰三角形；由角平分線的性質(zhì)可知AE=DE，由此得到△AED為等腰三角形；同理可得△ABD為等腰三角形；
②由于△AED為等腰三角形，△ABD為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明AB+AE=BD+CD=BC，然后就可以求出AB+AE的長．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)及等量代換的應(yīng)用是正確解答本題的關(guān)鍵．