Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．連接OC交AE于點H。

（1）求證：GC⊥OC．

（2）求證：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理、垂徑定理和等腰三角形的判定．(1)連結(jié)OC，由C是劣弧AE的中點，由垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可求解；(2)連結(jié)AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

(3)在Rt△ADF中，∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根據(jù)平行線分線段成比例得到DA：AG=DF：CF；然后把DF=1，AD=，CF=2代入計算即可求解．

試題解析：

（1）證明：如圖，連結(jié)OC，

∵C是劣弧AE的中點，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切線；

（2）證明：連結(jié)AC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠BCD=90°，

而CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠2，

∵AC弧=CE弧，

∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，

∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，

∴DF=AF=1，

∴AD=DF=，

∵AF∥CG，

∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，

∴AG=．

考點：1、切線的判定；2、等腰三角形的判定與性質(zhì)；3、垂徑定理；4、圓周角定理；4、相似三角形的判定與性質(zhì)．