Question

已知拋物線C₁：y=x²-2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，n＜0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B，連接AC，BC，AB．

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線C₂的解析式；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)求出m的值；并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₁、C₂關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線C₁：y=x²-2mx+n，
∴拋物線C₂的解析式為：y=（-x）²-2m（-x）+n，即y=x²+2mx+n；

（2）當(dāng)m=1時(shí)，△ABC為等腰直角三角形．理由如下：
如圖，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)D．
∵拋物線C₁、C₂關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，
又∵點(diǎn)C、D都在y軸上，
∴AC=BC，CD⊥AB，∠BCD=∠ACD．
當(dāng)m=1時(shí)，∵拋物線C₁：y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，n-1），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n-1），AD=1．
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，n），
∴CD=n-（n-1）=1，
∴AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（3）∵拋物線C₁：y=x²-2mx+n=（x-m）²+n-m²，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（m，n-m²），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n-m²），AD=|m|．
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，n），
∴CD=n-（n-m²）=m²．
當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，∠CAD=60°．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tan∠CAD===|m|，
∴|m|=，
∴m=±．
分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求得；
（2）設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)D，先由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出AC=BC，則△ABC是等腰三角形，再根據(jù)m=1時(shí)，可得AD=CD=1，∠BCD=∠ACD=45°，從而得出△ABC為等腰直角三角形；
（3）先求出AD=|m|，CD=m²，再根據(jù)△ABC為等邊三角形得出∠CAD=60°，然后在Rt△ACD中利用正切函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程，解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．