Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動，連接DP交AC于點(diǎn)Q。
（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點(diǎn)C，在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形。

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時， 都有 ∴△ADQ≌△ ABQ； （2）△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時， 過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F， 則QE=QF  ∴ 由△DEQ∽△DAP得 解得 ∴時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的； （3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD ①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA 此時△ADQ是等腰三角形； ②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合， 此時DA=DQ，△ADQ是等腰三角形； ③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動到CP=x時，有AD=AQ ∵ ∴  又∵， ∴ ∴  ∵ ∴ 即當(dāng)時，△ADQ是等腰三角形。