Question

7．如圖1，在△ABC中，點D為邊AC上一點，且∠DBC=∠BAC．
（1）求證：BC²=CD•AC；
（2）如圖2，點E、G分別是BC，DC邊上一點，連接AE交BD于點F，連接EG，且∠BDC+∠AEG=180°，
①若點E為BC中點，$\frac{EG}{EF}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，求$\frac{AB}{BC}$的值；
②若$\frac{BE}{CE}=\frac{1}{n}$，$\frac{EG}{EF}=\frac{1}{k}$，求$\frac{AB}{BC}$的值（用含n，k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）只要證明△CBD∽△CAB即可解決問題；
（2）如圖2中，連接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．首先證明△EMF∽△ENG，推出$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\sqrt{5}$，由BE=EC，推出S_△BED=S_△ECD，推出$\frac{1}{2}$•BD•EM=$\frac{1}{2}$•DC•EN，推出$\frac{BD}{DC}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由△CBD∽△CAB，可得$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，推出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$，由此即可解決問題．
（3）如圖3中，連接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．首先證明△EMF∽△ENG，推出$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=k，由BE=nEC，推出S_△BED=nS_△ECD，推出$\frac{1}{2}$•BD•EM=$\frac{1}{2}$•DC•EN，推出$\frac{BD}{DC}$=n•$\frac{EN}{EM}$=$\frac{n}{k}$，由△CBD∽△CAB，可得$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，推出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠C=∠C，∠DBC=∠BAC，
∴△CBD∽△CAB，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴BC²=CD•AC．

（2）解：如圖2中，連接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．

在四邊形DFEG中，∵∠FDG+∠FEG=180°，
∴∠DFE+∠DGE=180°，∵∠EFM+∠DFE=180°，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EMF=∠ENG=90°，
∴△EMF∽△ENG，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\sqrt{5}$，
∵BE=EC，
∴S_△BED=S_△ECD，
∴$\frac{1}{2}$•BD•EM=$\frac{1}{2}$•DC•EN，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△CBD∽△CAB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

（3）如圖3中，連接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．

在四邊形DFEG中，∵∠FDG+∠FEG=180°，
∴∠DFE+∠DGE=180°，∵∠EFM+∠DFE=180°，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EMF=∠ENG=90°，
∴△EMF∽△ENG，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=K
∵BE=nEC，
∴S_△BED=nS_△ECD，
∴$\frac{1}{2}$•BD•EM=n$\frac{1}{2}$•DC•EN，
∴$\frac{BD}{DC}$=n•$\frac{EN}{EM}$=$\frac{n}{k}$
∵△CBD∽△CAB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{n}{k}$．

點評 本題考查相似形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的首先思考問題，屬于中考壓軸題．