Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的長分別是一元二次方程x²-11x+30=0的兩個根（OB＞OC）．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合），過點(diǎn)P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QR的長度為m．已知t=4時，直線l恰好過點(diǎn)C．當(dāng)0＜t＜3時，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)m=3.5時，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法解方程x²-11x+30=0可得到OB=6，OC=5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OM=BM=AM=$\frac{1}{2}$OB=3，于是可寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計算出CN得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3），再利用待定系數(shù)法分別求出直線OC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，直線OA的解析式為y=x，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到Q（t，t），R（t，-$\frac{3}{4}$t），所以QR=t-（-$\frac{3}{4}$t），從而得到m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+6，直線BC的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-9，然后分類討論：當(dāng)0＜t＜3時，利用$\frac{7}{4}$t=3.5可求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
當(dāng)3≤t＜4時，則Q（t，-t+6），R（t，-$\frac{3}{4}$t），于是得到-t+6-（-$\frac{3}{4}$t）=3.5，解得t=10，不滿足t的范圍舍去；當(dāng)4≤t＜6時，則Q（t，-t+6），R（t，$\frac{3}{2}$t-9），所以-t+6-（$\frac{3}{2}$t-9）=3.5，然后解方程求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵方程x²-11x+30=0的解為x₁=5，x₂=6，
∴OB=6，OC=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），
作AM⊥x軸于M，如圖，
∵∠OAB=90°且OA=AB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；
（2）作CN⊥x軸于N，如圖，
∵t=4時，直線l恰好過點(diǎn)C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中，CN=$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3），
設(shè)直線OC的解析式為y=kx，
把C（4，-3）代入得4k=-3，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線OC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，
設(shè)直線OA的解析式為y=ax，
把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴直線OA的解析式為y=x，
∵P（t，0）（0＜t＜3），
∴Q（t，t），R（t，-$\frac{3}{4}$t），
∴QR=t-（-$\frac{3}{4}$t）=$\frac{7}{4}$t，
即m=$\frac{7}{4}$t（0＜t＜3）；
（3）設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，
把A（3，3），B（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3p+q=3}\\{6p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+6，
同理可得直線BC的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-9，
當(dāng)0＜t＜3時，m=$\frac{7}{4}$t，若m=3.5，則$\frac{7}{4}$t=3.5，解得t=2，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)3≤t＜4時，Q（t，-t+6），R（t，-$\frac{3}{4}$t），
∴m=-t+6-（-$\frac{3}{4}$t）=-$\frac{1}{4}$t+6，若m=3.5，則-$\frac{1}{4}$t+6=3.5，解得t=10（不合題意舍去）；
當(dāng)4≤t＜6時，Q（t，-t+6），R（t，$\frac{3}{2}$t-9），
∴m=-t+6-（$\frac{3}{2}$t-9）=-$\frac{5}{2}$t+15，若m=3.5，則-$\frac{5}{2}$t+15=3.5，解得t=$\frac{23}{5}$，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{23}{5}$，0），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（$\frac{23}{5}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長；學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．