Question

20．如圖（a），（b），梯形ABCD中，AB∥CD，過A、B兩點作一圓，與AD、BC（或它們的延長線）分別相交于E和F，求證：CDEF是圓內(nèi)接四邊形．

Answer 1

分析 圖（a），根據(jù)梯形的性質(zhì)可得∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠B+∠AEF=180°，∠A+∠EFB=180°，進而可證得∠C=∠AEF，∠D=∠EFB，然后再證明∠D+∠EFC=180°，∠C+∠DEF=180°，從而得到CDEF是圓內(nèi)接四邊形，圖（b）的證法與圖（a）類似．

解答 證明：圖（a），
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
∵四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠AEF=180°，∠A+∠EFB=180°，
∴∠C=∠AEF，∠D=∠EFB，
∵∠DEF+∠AEF=180°，∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠D+∠EFC=180°，∠C+∠DEF=180°，
∴CDEF是圓內(nèi)接四邊形；
圖（b），
∵AB∥CD，
∴∠B+∠DCB=180°，∠A+∠ADC=180°，
∵四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠AEF=180°，∠A+∠EFB=180°，
∴∠DCB=∠AEF，∠ADC=∠EFB，
∵∠DCB+∠DCF=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠AEF+∠FCD=180°，∠DCF+∠DEF=180°，
∴CDEF是圓內(nèi)接四邊形．

點評 此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，關(guān)鍵是掌握對角互補的四邊形是圓內(nèi)接四邊形．