Question

5．【發(fā)現(xiàn)】：如圖1，在正三角形ABC中，在AB，AC邊上分別取點M，N，BM=AN，連接BN，CM，相交于點O，求∠α
易得：△ABN≌△BCN，則∠1=∠2
∵∠α是△BOC的外角，∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=60°

【推廣】：在正n邊形中，對相鄰的兩邊實施同樣的操作…
（1）如圖2，在正四邊形ABCD中，在AB，AD邊上分別取點M，N，連接BN，CM，可確定∠α=90°；
（2）如圖3，在正五邊形ABCDE中，在AB，AD邊上分別取點M，N，連接BN，CM，可確定∠α=108°；
（3）判斷：∠α可以等于160°嗎？如果可以，求出對應(yīng)的邊數(shù)n，若不可以，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠CBM=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2））由于四邊形ABCD是正五邊形，得到AB=BC，∠A=∠CBM=108°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBM=90°，
在△ABN與△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠CBM}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠1=∠2，
∵∠α是△BOC的外角，
∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=90°；
故答案為：90；
（2））∵四邊形ABCD是正五邊形，
∴AB=BC，∠A=∠CBM=108°，
在△ABN與△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠CBM}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠1=∠2，
∵∠α是△BOC的外角，
∴∠α=∠2+∠3，
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=108°；
故答案為：108；
（3）∠α可以等于160°，
理由：由于上述操作發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可知，正n邊形中的∠α=正n邊形的內(nèi)角的度數(shù)，
假設(shè)存在正n邊形使得∠α=160°，則（n-2）•180°=160°n，
解得：n=18，
∴存在正n邊形使得∠α=160°，
此時，該正n邊形為正十八邊形．

點評 本題考查了正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．