Question

如圖，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足∠PQO＝60º．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是              ，∠CAO＝          º，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)

為              ；

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（6，2）。  30。（3，3）（2）

【解析】解：（1）（6，2）。  30。（3，3）。

（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，

如圖1，

OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由題意可知直線(xiàn)l∥BC∥OA，

可得，∴EF=（3+x），

此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，如圖2，

當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如圖3，

當(dāng)x＞9時(shí)，如圖4，

。

綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：

  。

（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)：

∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）。

②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)：

∵，∴∠CAO=30°。

③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。

∴。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）。

（2）分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案。