Question

如圖，點(diǎn)P是雙曲線y=（x＜0）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y=于E、F兩點(diǎn)．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=______；
（2）圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3）．
①判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②記S₂=S_△PEF-S_△OEF，求S₂．

Answer 1

解：（1）四邊形PEOF的面積S₁=四邊形PAOB的面積+△OAE的面積+△OBF的面積=|k₁|+k₂=k₂+k₁=12+6=18

（2）①EF與AB的位置關(guān)系為平行，即EF∥AB．
證明：如圖，由題意可得：
A（-4，0），B（0，3），E（-4，-），F(xiàn)（2，3），
∴PA=3，PE=3+=，PB=4，PF=4+2=6，
∴==，==，
∴=，
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；
②S₂沒有最小值，理由如下：
過E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，兩線交于點(diǎn)Q，
由上知M（0，-），N（2，0），Q（2，-），
而S_△EFQ=S_△PEF，
則S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=12×+6×+2×
=6+3+3
=12．
故答案為12．
分析：（1）由反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)可知：四邊形OAPB面積為K₁，△OAE與△OBF面積之和為k₂，可求四邊形PEOF的面積；
（2）①根據(jù)題意，易寫點(diǎn)A、B、E、F坐標(biāo)，可求線段PA、PE、PB、PF的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依據(jù)相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，從而得出EF與AB的位置關(guān)系．
②如果過E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，兩線交于點(diǎn)Q．由S_△EFQ=S_△PEF，可得出S₂的表達(dá)式，再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義求出面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，此題難度較大，主要考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及相似三角形判定．同學(xué)們要熟練掌握相似三角形的判定方法．