Question

如圖，AB=AC，AE是△ABC中BC邊上的高線，點(diǎn)D在直線AE上一點(diǎn)（不與A、E重合）．
（1）證明：△ADB≌△ADC；
（2）當(dāng)△AEB∽△BED時(shí)，若cos∠DBE=

2

3

，BC=8，求線段AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠DAC=∠DAB，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BE=CE=4，根據(jù)相似求出∠AEB=∠DEB=90°，解直角三角形求出BD、求出DE，根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵AB=AC，AE是△ABC中BC邊上的高線，
∴∠DAC=∠DAB，
在△ADB和△ADC中，

AB=AC ∠DAB=∠DAC AD=AD

∴△ADB≌△ADC（SAS）；

（2）解：∵AB=AC，AE是△ABC中BC邊上的高線，BC=8，
∴CE=BE=4，
∵△AEB∽△BED，
∴∠AEB=∠DEB，
∵∠AEB+∠DEB=180°，
∴∠AEB=∠DEB=90°，
即AB⊥BD，
∵cos∠DBE=

2

3

=

BE

BD

，
∴BD=

4

2 3

=6，
由勾股定理得：DE=2

5

，
∵△AEB∽△BED，
∴

AE

BE

=

BE

DE

，
∴

AE

4

=

4

2 5

，
∴AE=

8 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．