Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-）和（m-b，m²-mb+n），其中a，b，c，m，n為實(shí)數(shù)，且a，m不為0。

（1）求c的值；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁x₂的值；
（3）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（x₀，y₀），求這時(shí)|y₀|的最小值。

Answer 1

解：（1）∵（0，-）在y=ax²+bx+c上，
∴-=a×0²+b×0+c，
∴ c=-；
（2）又可得n=-
∵ 點(diǎn)（m-b，m²-mb+n）在y=ax²+bx+c上，
∴ m²-mb-=a（m-b）²+b（m-b）-，
∴（a-1）（m-b）²=0，
若（m-b）=0，則（m-b， m²-mb+n）與（0，-）重合，與題意不合
∴ a=1，
∴拋物線y=ax²+bx+c，就是y=x²+bx-，
△=b²-4ac=b²-4×（-）＞0，
∴拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是關(guān)于x的二次方程0=ax²+bx+c的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂=-；
（3）拋物線y=x²+bx-的對(duì)稱軸為x=，最小值為，
設(shè)拋物線y=x²+bx-在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為H，在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h，
①當(dāng)<-1，即b＞2時(shí)，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，y₀），
∴|H|=y₀=+b＞，
在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（-1，y₀），
∴｜h｜=｜y₀｜=｜-b｜=b-＞，
∴｜H｜＞｜h｜，
∴這時(shí)｜y₀｜的最小值大于；
② 當(dāng)-1≤≤0，即0≤b≤2時(shí)，
在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，y₀），
∴｜H｜=y₀=+b≥，當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立，
在x軸下方與x軸距離最大點(diǎn)的是（），
∴｜h｜=｜｜=≥，當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立，
∴這時(shí)｜y₀｜的最小值等于；
③ 當(dāng)0＜≤1，即-2≤b＜0時(shí)，
在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（-1，y₀），
∴｜H｜=y₀=｜1+（-1）b-｜=｜-b｜=-b＞，
在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（），
∴｜h｜=｜y₀｜=｜｜=＞，
∴ 這時(shí)｜y₀｜的最小值大于；
④ 當(dāng)1＜，即b＜-2時(shí)，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（-1，y₀），∴｜H｜=-b＞，
在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，y₀），∴｜h｜=｜+b｜=-（b+）＞，
∴｜H｜＞｜h｜，
∴這時(shí)｜y₀｜的最小值大于，
綜上所述，當(dāng)b=0，x₀=0時(shí)，這時(shí)｜y₀｜取最小值為|y₀|=。