Question

如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，其對稱軸為直線，且與x軸交于點D，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，

    點B的坐標為(_______，_______)：

(2) 若線段BC的垂直平分線EF交BC于點E，交x軸于點F．求FC的長；

(3) 探究：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使⊙P與x軸、直線BC都相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1），B(5，0)

（2）由（1）求得

∴C（2，4）

∵E為BC的中點，由中點坐標公式求得E的坐標為（3.5，2）

易求直線BC的表達式為，整理得

設(shè)直線EF的表達式為

∵EF為BC的中垂線

∴EF⊥BC

∴

把E（3.5，2）代入求得

∴直線EF的表達式為，

在中，令y=0，得

∴F(，0)

∴FC=FB=

（3）存在，作∠OBC的平分線交DC于點P，則P滿足條件。當然也可以作∠OBC的鄰補角的平分線交DC于點P’，也滿足條件，坐標求法一樣。

設(shè)P（2，a），則P到x軸的距離等于P到直線BC的距離。（用到點到直線的距離公式）

∴

∴

∴或

解得或

∴P（2，）或P（2，）。