Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=3cm，DC=4cm，將該矩形沿對角線AC折疊，使點B落在點E處，AE與邊CD交于點F．
（1）求EF的長；
（2）連接DE，求四邊形ACED的面積與周長各是多少？

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，BC=3cm，DC=4cm，
∴AD=BC=3cm，AB=DC=4cm，CD∥AB，
∴AC==5cm，∠2=∠3，
∵將矩形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點E處，
∴∠1=∠2，AE=AB=4cm，EC=BC=3cm，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
設EF=xcm，則CF=AF=（4-x）cm，
在Rt△EFC中，EF²+EC²=FC²，即x²+3²=（4-x）²，解得x=，即EF=cm；

（2）由（1）可知：AF=CF，∠1=∠3，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴DE∥AC，
∵AD=CE=3cm，且AD與CE不平行，
∴四邊形ACED是等腰梯形，
過點D、E分別作DM⊥AC于點M、EN⊥AC于點N，則四邊形DMNE為矩形，
∴AM=BN，DE=MN，
在Rt△ACD中，DM•AC=AD•DC，則DM==，
在Rt△ADM中，AM==，
∴CN=，
∴DE=MN=5--=，
∴四邊形ACED的周長為3+3+5+=（cm）；
四邊形ACED的面積=（5+）×=（cm²）．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD=BC=3cm，AB=DC=4cm，CD∥AB，根據(jù)勾股定理可計算出AC=5cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，AE=AB=4cm，EC=BC=3cm，則∠1=∠3，所以AF=CF，設EF=xcm，則CF=AF=（4-x）cm，然后在Rt△EFC中利用勾股定理可計算出x；
（2）由于AF=CF，∠1=∠3，AE=CD，則DF=EF，所以∠4=∠5，于是∠1=∠5=∠4=∠3，得到DE∥AC，而AD=CE=3cm，且AD與CE不平行，所以可判斷四邊形ACED是等腰梯形，過點D、E分別作DM⊥AC于點M、EN⊥AC于點N，則四邊形DMNE為矩形，根據(jù)等腰圖形的性質(zhì)易得AM=BN，DE=MN，在Rt△ACD中，利用面積法克計算出DM==，
在Rt△ADM中，利用勾股定理計算出AM=，則DE=MN=，然后根據(jù)等腰梯形的周長和面積公式求解．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等；也考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)．