Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與直線y=kx（k≠0）相交于點M（1，1），N（3，3），且這條拋物線的對稱軸為x=1．
（1）若將該拋物線平移使得其經(jīng)過原點，且對稱軸不變，求平移后的拋物線的表達式及k的值．
（2）設P為直線y=kx下方的拋物線上一點，求△PMN面積的最大值及此時P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后根據(jù)題意得到平移后的解析式，把M坐標代入y=kx即可求得k的值；
（2）過P作PQ∥y軸，交MN于Q，設Q（t，t），則P（t，$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$），求得PQ=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，然后根據(jù)三角形面積公式得出S=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{1}{2}$，即可求得△PMN面積的最大值及此時P點的坐標．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=1}\\{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，
∵該拋物線平移使得其經(jīng)過原點，且對稱軸不變，
∴平移后的拋物線為y=$\frac{1}{2}$x²-x，
將M（1，1）代入y=kx得k=1；
（2）過P作PQ∥y軸，交MN于Q，設Q（t，t），則P（t，$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$），
則PQ=t-（$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$PQ×（3-1）=PQ=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{1}{2}$，
∴當t=2時，△PMN的面積最大，此時P（2，$\frac{3}{2}$），S_△PMN=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，也考查二次函數(shù)的性質(zhì)．