Question

14．如圖，將邊長分別為6，2$\sqrt{3}$的矩形硬紙片ABCD折疊，使AB，CB均落在對角線BD上，點A與點H重合，點C與點G重合，折痕分別為BE，BF．下面三個結(jié)論：①∠EBF=45°；②FG是BD的垂直平分線；③DF=5．其中正確的結(jié)論是①②（只填序號）

Answer 1

分析 ①由折疊的性質(zhì)得到∠ABE=∠DBE，∠DBF=∠CBF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，于是得到∠EBF=∠EBD+∠FBD=45°，故①正確；
②根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ABD=30°，得到∠CBD=60°，求得DF=BF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=$\frac{1}{2}$BD，由折疊的性質(zhì)得到BG=BC，得到DG=BG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到FG⊥BD，于是得到FG是BD的垂直平分線；故②正確；
③解直角三角形得到DF=CD-CF=4，故③錯誤．

解答 解：①∵由折疊的性質(zhì)得，∠ABE=∠DBE，∠DBF=∠CBF，
∴∠DBE+∠DBF=∠ABE+∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=45°，
故①正確；
②∵AB=6，AD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∠BDC=30°，
∴∠CBD=60°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠CBD=30°，
∴∠FDB=∠FBD，
∴DF=BF，
∵∠C=90°，∠BDC=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD，
由折疊的性質(zhì)得，BG=BC，
∴DG=BG，
∴FG⊥BD，
∴FG是BD的垂直平分線；故②正確；
∵∠CBF=∠FBD=30°，∠C=90°，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=3，
∴DF=CD-CF=4，故③錯誤．
故答案為：①②．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．