Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上．
（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；
（2）求反比例函數(shù)的解析式；
（3）如圖2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），在反比例函數(shù)y=的圖象上是否存在點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），使得以O(shè)、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)E、F均是反比例函數(shù)y=上的點(diǎn)，四邊形AOBC是矩形，
∴AE⊥y軸，BC⊥x軸，
∴S_△AOE=S_△BOF=；

（2）∵C坐標(biāo)為（4，3），
∴設(shè)E（，3），F(xiàn)（4，），
如圖1，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的G點(diǎn)，作EH⊥OB，垂足為H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB，
∴=，
∴GB==，
在Rt△GBF中，GF²=GB²+BF²，即（3-）²=（）²+（）²，
解得k=，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=；

（3）存在．
當(dāng)OP是平行四邊形的邊時(shí)，如圖2所示：
平行四邊形OPMN，可以看成線段PN沿PO的方向平移至OM處所得．
設(shè)M（a，），
∵P（2，-3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O（0，0），
∴N（a-2，+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（+3）=，
整理得4a²-8a-7=0，
解得a=，
當(dāng)a=時(shí)，==，
-2=，+3=，
∴M（，），N（，）或M（，）N（，）．
當(dāng)OP為對(duì)角線時(shí)，如圖3所示：
設(shè)M（a，），N（b，），
∵P（2，-3），
∴，解得，，
∴M（，），N（，）或M（，），N（，），
綜上所述，M（，），N（，）或M（，）N（，）；M（，），N（，）或M（，），N（，）．
分析：（1）直接根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義進(jìn)行證明即可；
（2）作出折疊后的草圖，根據(jù)反比例函數(shù)解析式表示出點(diǎn)EF的坐標(biāo)，過點(diǎn)E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理計(jì)算即可求出k值；
（3）利用反比例函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后把平行四邊形OPMN看作是邊PN沿PO方向平移至OM處得到的，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)關(guān)系，由點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后再代入函數(shù)解析式，計(jì)算即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、圖形反折變換的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．