Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是________．

Answer 1

2
分析：兩點之間線段最短，所以當點C、P、Q三點共線時，CQ+PQ的最�。�如圖，作點P關于直線AD的對稱點P′，連接BP′，則直線BP′與直線AD的交點即為所求的Q點．
解答：解：如圖，作點P關于直線AD的對稱點P′，連接BP′交AD于點Q，則CQ+PQ=CQ+P′Q=CP′．
∵根據(jù)對稱的性質(zhì)知△APQ≌△AP′Q，
∴∠PAQ=∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分線，點P在AC邊上，點Q在直線AD上，
∴∠PAQ=∠BAQ，
∴∠P′AQ=∠BAQ，
∴點P′在邊AB上．
∵當CP′⊥AB時，線段CP′最短．
∵在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，
∴AB=4，且當點P′是斜邊AB的中點時，CP′⊥AB，
此時CP′=AB=2，即CQ+PQ的最小值是2．
故填：2．
點評：本題考查了軸對稱--最短路線問題．此題屬于易錯題，學生們在解題時往往沒有先證明點P′在邊AB上，而直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)來求CP′線段的長度．