Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，正方形CDEF的邊長為4，且CD∥y軸，直線y=-

1

2

x-1過點(diǎn)C，且交x軸，y軸于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P沿正方形ABCD運(yùn)動(dòng)一周，則以P為圓心、

5

為半徑的圓動(dòng)與直線CB相切的次數(shù)為（　　）

A．一次

B．兩次

C．三次

D．四次

Answer 1

分析：如圖，作PH⊥BC于H，GM⊥BC與M，根據(jù)條件利用勾股定理就可以求出PD、GC的值，就可以求出⊙P的運(yùn)動(dòng)位置，從而確定⊙P與直線CB的相切次數(shù)．

解答：解：如圖，作PH⊥BC于H，GM⊥BC與M，PN⊥CF，
∴∠PHS=∠GMC=∠PNC=90°．
∵四邊形CDEF是正方形，
∴∠E=∠F=∠FCD=∠D=90°，CD=DE=EF=CF=4．CD∥y軸，
∴∠HPN=∠MGC=∠BAO，
∵直線y=-

1

2

x-1，當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴A（-2，0），B（0，-1），
∴OA=2，OB=1，
∴tan∠OAB=

1

2

，
∴tan∠HPN=tan∠MGC=

1

2

．
當(dāng)PH=

5

時(shí)，HS=

5

2

，
在Rt△PHS中，由勾股定理得：
PS=

5

2

，
∴SN=

3

2

，
∴NC=3，
∴PD=3，
∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到離D點(diǎn)的距離為3時(shí)，⊙P與直線相切，
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)，GM=

5

時(shí)，則MA=

5

2

，
在Rt△GMC中，由勾股定理，得
GC=

5

2

，
∴DG=

3

2

，
∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到離D點(diǎn)的距離為

3

2

時(shí)，⊙P與直線相切，
∴⊙P與直線CB相切2次．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相切的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用三角函數(shù)值根據(jù)勾股定理求解是關(guān)鍵．