Question

8．如圖，邊長為1的正方形ABCD中繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB′C′D′，則圖中陰影部分的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 此題只需把公共部分分割成兩個三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)兩個三角形全等，從而求得直角三角形的邊，再進一步計算其面積．

解答 解：如圖，連接AO，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠BAB′=30°，則∠DAB′=60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD=∠OAB′=30°．
又∵AD=1，
∴OD=AD•tan∠OAD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴陰影部分的面積=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAO=∠B′AO，從而求出∠DA0=30°是解題的關(guān)鍵，