Question

如圖，O為正方形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF=CE，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接OG，
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）證明：OG=OB；
（3）在圖中找出一對(duì)相似三角形，并證明（不添輔助線）

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；
（2）通過(guò)△DBG≌△FBG的對(duì)應(yīng)邊相等知BD=BF；然后由三角形中位線定理證得OG=

1

2

BF；最后由正方形的對(duì)角線互相平分、等量代換即可證得結(jié)論；
（3）△BGF∽△DCF．

解答：（1）證明：在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）證明：∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠EBC=

1

2

∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，

∠DBG=∠FBG BG=BG ∠BGD=BGF

，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∴點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)；
又∵O為正方形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴OG是△DBF的中位線，
∴OG=

1

2

BF=

1

2

BD；
∵OB=

1

2

BD，
∴OB=OG；

（3）解：△BGF∽△DCF．理由如下：
在Rt△BGF和Rt△DCF中，

∠GBF=∠CDF=22.5° ∠F=∠F

，
∴Rt△BGF∽R(shí)t△DCF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．