Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)。
（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積。
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得x2-1=0，得x=±1                  令x=0，y= -1         ∴A（-1，0）， B（1，0），C（0，-1） （2）∵OA=OB=OC= 1  ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO= 45°       ∵AP∥CB，∴ ∠PAB= 45°       過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形     令OE=a，則PE=a+1 ∴P（a，a+1）    ∵點(diǎn)P在拋物線y=x2-1上  ∴a+1=a2-1    解得a1=2，a2=-1（不合題意，舍）    ∴PE=3   ∴四邊形ACBP的面積S=AB·OC+AB·PE                                                     = （3）假設(shè)存在  ∵∠PAB=∠BAC =45°∴PA⊥AC    ∵M(jìn)G⊥x軸于點(diǎn)G，∴∠MGA=∠PAC = 90°    在Rt△AOC中，OA=OC=1   ∴AC=    在Rt△PAE中，AE=PE=3    ∴AP=    設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則M （m，m2-1）   ①點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，則m<-1  (ⅰ) 當(dāng)△AMG∽△PCA時(shí)，有=    ∵AG= -m-1，MG=m2-1    即  解得m1= -1（舍），m2=（舍）   (ⅱ) 當(dāng)△MAG∽△PCA時(shí)有=   即  解得m1= -1（舍），m2= -2  ∴M（-2，3） ② 點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，m>1  (ⅰ) 當(dāng)△AMG∽△PCA時(shí)有=   ∵AG=m+1 ，MG=m2-1   ∴ 解得m1= -1（舍），m2=   ∴M（，）  (ⅱ) 當(dāng)△MAG∽△PCA時(shí)有=   即  解得：m1= - 1（舍），m2=4  ∴M（4,15） ∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似  M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，