Question

如圖，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD所在的直線(xiàn)為x軸，AB所在的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)F在對(duì)角線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)F不與點(diǎn)A，C重合)，過(guò)點(diǎn)F分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足為G，E．設(shè)四邊形BCFE的面積為S₁，四邊形CDGF的面積為S₂，△AFG的面積為S₃．

(1)試判斷S₁，S₂的關(guān)系，并加以證明；

(2)當(dāng)S₃∶S₂＝1∶3時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖，在(2)的條件下，把△AEF沿對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)平移，得到，且兩點(diǎn)始終在直線(xiàn)AC上，是否存在這樣的點(diǎn)，使點(diǎn)到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5∶4．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　S1＝S2 　　證明：如圖，∵FE⊥軸，FG⊥軸，∠BAD＝90°， 　　∴四邊形AEFG是矩形． 　　∴AE＝GF，EF＝AG． 　　∴S△AEF＝S△AFG，同理S△ABC＝S△ACD． 　　∴S△ABC－S△AEF＝S△ACD－S△AFG．即S1＝S2． 　　(2)∵FG∥CD，∴△AFG∽△ACD． 　　∴． 　　∴FG＝CD，AG＝AD． 　　∵CD＝BA＝6，AD＝BC＝8，∴FG＝3，AG＝4．∴F(3，4)． 　　(3)解法一：∵是由△AEF沿直線(xiàn)AC平移得到的， 　　∴＝EA＝3，＝EF＝4．①如圖1 　　∵點(diǎn)到軸的距離與到軸的距離比是5∶4，若點(diǎn)在第一象限， 　　∴設(shè) (4，5)且＞0， 　　延長(zhǎng)交軸于M，得＝5－3，AM＝4． 　　∵∠＝∠MA＝90°，∠＝∠MA， 　　∴△∽△MA，得． 　　∴．∴＝， (6，)． 　　②如圖2 　　∵點(diǎn)到軸的距離與到軸的距離比是5∶4， 　　若點(diǎn)在第二象限，∴設(shè) (－4，5)且＞0， 　　得NA＝4，N＝3－5， 　　同理得△∽△AN． 　　∴，． 　　∴a＝，∴ (，)． 　　③如圖3 　　∵點(diǎn)到軸的距離與到軸的距離比是5∶4， 　　若點(diǎn)在第三象限，∴設(shè) (－4，－5)且＞0． 　　延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)P，得AP＝5，P＝4－4． 　　同理得∽△AP，得， 　　.∴＝(不合舍去)． 　　∴在第三象限不存在點(diǎn)． 　�、茳c(diǎn)不可能在第四象限． 　　∴存在滿(mǎn)足條件的坐標(biāo)分別是(6，)、(，)． 　　解法二：如圖4，∵是由△AEF沿直線(xiàn)AC平移得到的，且、兩點(diǎn)始終在直線(xiàn)AC上， 　　∴點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)E(0，3)且與直線(xiàn)AC平行的直線(xiàn)l上移動(dòng)． 　　∵直線(xiàn)AC的解析式是， 　　∴直線(xiàn)l的解析式是． 　　根據(jù)題意滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(4，5)或(－4，5)或(－4，－5)，其中＞0． 　　∵點(diǎn)在直線(xiàn)l上，∴或或 　　解得(不合舍去)．∴ (6，)或 (，)． 　　∴存在滿(mǎn)足條件的坐標(biāo)分別是(6，)、(，)． 　　解法三： 　　∵是由△AEF沿直線(xiàn)AC平移得到的，且、兩點(diǎn)始終在直線(xiàn)AC上， 　　∴點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)E(0，3)且與直線(xiàn)AC平行的直線(xiàn)l上移動(dòng)． 　　∵直線(xiàn)AC的解析式是，∴直線(xiàn)L的解析式是． 　　設(shè)點(diǎn)為(，)∵點(diǎn)到軸的距離與到軸的距離比是5∶4，∴． 　　①當(dāng)、為同號(hào)時(shí)，得解得∴ (6，7.5)． 　�、诋�(dāng)、為異號(hào)時(shí)，得解得∴ (，)． 　　∴存在滿(mǎn)足條件的坐標(biāo)分別是(6，)、(，)．