Question

6．如圖，直線y=-2x+2與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，將線段OA分成n等份，分點分別為P₁，P₂，P₃，…，P_n-1，過每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點T₁，T₂，T₃，…，T_n-1，用S₁，S₂，S₃，…，S_n-1分別表示Rt△T₁OP₁，Rt△T₂P₁P₂，…，Rt△T_n-1P_n-2P_n-1的面積，則當(dāng)n=2015時，S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1007}{2015}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出點T₁，T₂，T₃，…，T_n-1各點縱坐標(biāo)，進而利用三角形的面積得出S₁、S₂、S₃、…、S_n-1，進而得出答案．

解答 解：∵P₁，P₂，P₃，…，P_n-1是x軸上的點，且OP₁=P_1P2=P_2P3=…=P_n-2P_n-1=$\frac{1}{n}$，
分別過點p₁、p₂、p₃、…、p_n-2、p_n-1作x軸的垂線交直線y=-2x+2于點T₁，T₂，T₃，…，T_n-1，
∴T₁的橫坐標(biāo)為：$\frac{1}{n}$，縱坐標(biāo)為：2-$\frac{2}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n}$（2-$\frac{2}{n}$）=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{1}{n}$）
同理可得：T₂的橫坐標(biāo)為：$\frac{2}{n}$，縱坐標(biāo)為：2-$\frac{4}{n}$，
∴S₂=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{2}{n}$），
T₃的橫坐標(biāo)為：$\frac{3}{n}$，縱坐標(biāo)為：2-$\frac{6}{n}$，
S₃=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{3}{n}$）
…
S_n-1=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{n-1}{n}$）
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1}{n}$[n-1-$\frac{1}{2}$（n-1）]=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n}$（n-1）=$\frac{n-1}{2n}$，
∵n=2015，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2015}$×2014=$\frac{1007}{2015}$．
故答案為：$\frac{1007}{2015}$．

點評 此題考查了一次函數(shù)函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，先根據(jù)題意得出T點縱坐標(biāo)變化規(guī)律進而得出S的變化規(guī)律，得出圖形面積變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．