Question

10．如圖1，等邊△ABC邊長10 cm，D是AC上一點(diǎn)，DC=4 cm，點(diǎn)M以2 cm/秒的速度在線段BC上由C向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BA上由B向A運(yùn)動(dòng)，M、N同時(shí)出發(fā)．
（1）若點(diǎn)N與點(diǎn)M速度相等．
①當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，MN∥AC？
②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，△BMN是直角三角形？
（2）若點(diǎn)N與點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度不相等，M以點(diǎn)C為起點(diǎn)，順時(shí)針沿△ABC的邊經(jīng)過B運(yùn)動(dòng)至A，N以點(diǎn)B為起點(diǎn)，順時(shí)針沿△ABC的邊經(jīng)過A運(yùn)動(dòng)至C，問點(diǎn)N的速度為多少時(shí)，△BMN和△CDM的構(gòu)成全等？

Answer 1

分析 （1）①由條件可得BN=BM，再用t表示出線段的長度，代入可求得t的值；
②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AB上時(shí)，如果BM=CM，BN=CD，因?yàn)椤螧=∠C=60°，則△DCM≌△NBM，求出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可解決問題．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，如果點(diǎn)N與點(diǎn)D重合，BM=CD時(shí)，則△DCM≌△MBN，求出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可解決問題．

解答 解：（1）①∵M(jìn)N∥AC且△ABC為等邊三角形，
∴BN=BM，
∵BN=2t，BM=10-2t，
∴2t=10-2t，
解得t=2.5，
故運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2.5時(shí)，MN∥AC；

②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：
Ⅰ．當(dāng)∠NMB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，
∴2t=2×（10-2t）
∴t=$\frac{10}{3}$（秒）；
Ⅱ．當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，
∴10-2t=2×2t
∴t=$\frac{5}{3}$（秒）；
∴當(dāng)t=$\frac{10}{3}$秒或t=$\frac{5}{3}$秒時(shí)，△BMN是直角三角形；

（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AB上時(shí)，如果BM=CM，BN=CD，因?yàn)椤螧=∠C=60°，
∴△DCM≌△NBM，
∴BM=CM=5，BN=CD=4，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度=$\frac{4}{\frac{5}{2}}$=$\frac{8}{5}$cm/秒．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，如果點(diǎn)N與點(diǎn)D重合，BM=CD時(shí)，
∴△DCM≌△MBN，
∴BM=CD=4，AN=6，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{14}{2}$=7秒，
∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度=$\frac{16}{7}$cm/秒．
綜上所述，點(diǎn)N的速度為$\frac{8}{5}$cm/秒或$\frac{16}{7}$cm/秒時(shí)，△BMN和△CDM的構(gòu)成全等

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、路程、速度、時(shí)間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．