Question

12．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若⊙O的半徑為3，則陰影部分的面積為3π（結果保留π）．

Answer 1

分析 首先連接OC，OE，分別交BD，DF于點M，N，易證得S_△OBM=S_△DCM，同理：S_△OFN=S_△DEN，則可得S_陰影=S_扇形OCE．

解答 解：連接OC，OE，分別交BD，DF于點M，N，
∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，
∴∠BOC=60°，∠BCD=∠COE=120°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDM=30°，BM=DM，
∴∠OBM=30°，S_△DCM=S_△BCM，
∴∠OBM=∠CBD，
∴OM=CM，
∴S_△OBM=S_△BCM，
∴S_△OBM=S_△DCM，
同理：S_△OFN=S_△DEN，
∴S_陰影=S_扇形OCE=$\frac{120×π×{3}^{2}}{360}$=3π．
故答案為：3π．

點評 此題考查了正多邊形與圓的知識以及扇形的面積公式．注意證得S_陰影=S_扇形OCE是關鍵．