Question

如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，易證MN=AM+CN

⑴ 如圖2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC ,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．

⑵ 如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出猜想，不需證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）MN=AM＋CN，證明見解析（2）MN=CN－AM

【解析】解：（1）MN=AM＋CN。證明如下：

如圖，∵BC∥AD，AB=BC=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形。

∴∠A+∠BCD=180°。

把△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到△CBM′，

則AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°。∴點(diǎn)M′、C、M三點(diǎn)共線。

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC＋∠CBN=∠ABM＋∠CBN=∠ABC－∠MBN=∠ABC。

∴∠MBN=∠M′BN。

在△BMN和△BM′N中，∵ BM=BM′ ，∠MBN=∠M′BN， BN=BN，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），∴MN=M′N。

又∵M(jìn)′N=CM′＋CN=AM＋CN，∴MN=AM＋CN。

（2）MN=CN－AM。

（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)M′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，可得AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點(diǎn)共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證。

（2）在∠CBN內(nèi)部作∠CBM′=∠ABM交CN于點(diǎn)M′，然后證明∠C=∠BAM，再利用“角邊角”證明△ABM和△CBM′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，再證明∠MBN=∠M′BN，利用“邊角邊”證明△MBN和△M′BN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=M′N，從而得到MN=CN-AM：

如圖，作∠CBM′=∠ABM交CN于點(diǎn)M′，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠C=360°－180°=180°。

又∵∠BAD+∠BAM=180°，∴∠C=∠BAM。

在△ABM和△CBM′中，∵∠CBM′=∠ABM′ ，AB=BC ，∠C=∠BAM，

∴△ABM≌△CBM′（ASA）�！郃M=CM′，BM=BM′。

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠ABC－（∠ABN＋∠CBM′）=∠ABC－（∠ABN＋∠ABM）

=∠ABC-∠MBN=∠ABC。

∴∠MBN=∠M′BN。

在△MBN和△M′BN中，∵BM=BM′ ，∠MBN=∠M′BN， BN=BN，

∴△MBN≌△M′BN（SAS）。∴MN=M′N。

∵M(jìn)′N=CN－CM′=CN－AM，∴MN=CN-AM。