Question

（2011•晉江市質(zhì)檢）如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°、動點P、Q同時從點A出發(fā)，其中點P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；點Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路線向點C運動．當P、Q到達終點C時，整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．
（1）直接填空：AP=

4t

cm，AQ=

2

3

t

cm（用含t的代數(shù)式表示，其中0＜t＜5）；
（2）若點Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．
①當t為何值時，PM+MN的值最��？
②當t為何值時，△PQM的面積S有最大值，此時最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；點Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路線向點C運動，于是在時間t內(nèi)即可求出兩點運動的位移，即可求出AP和AQ的長度．
（2）①當點P、M、N在同一直線上時，PM+MN的值最小，根據(jù)AQ+QM=AM即可求出t的值，如圖1，若0＜t≤5時，則AP=4t，AQ=2

3

t，根據(jù)三角形相似證明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面積S的最大值，同理求出當5＜t≤10時，△PQM的面積S的最大值．

解答：解：（1）4t，2

3

t…（2分）

（2）①當點P、M、N在同一直線上時，PM+MN的值最小．…（3分）
如圖，在Rt△APM中，易知AM=

8 3

3

t，
又∵AQ=2

3

t，QM=20

3

-4

3

t．
由AQ+QM=AM得：2

3

t+20

3

-4

3

t=

8 3 t

3

，
解得t=

30

7

．
∴當t=

30

7

時，PM+MN的值最�。�…（7分）
②如圖1，若0＜t≤5時，則AP=4t，AQ=2

3

t．
則

AP

AQ

=

4t

2 3 t

=

2 3

3

，
又∵AO=10

3

，AB=20，
∴

AB

AO

=

20

10 3

=

2 3

3

．
∴

AP

AQ

=

AB

AO

．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
S=

1

2

MQ•PQ=

1

2

(20

3

-4

3

t)×2t=4

3

(5t-t2)=-4

3

(t-

5

2

)2+25

3

，
當t=

5

2

時，S有最大值25

3

．…（10分）
②若5＜t≤10時，則CP=40-4t，PQ=20-2t，CQ=20

3

-2

3

t．
則

CP

CQ

=

40-4t

20 3 -2 3 t

=

4(10-t)

2 3 (10-t)

=

2

3

，
又∵CO=10

3

，CB=20，
∴

CB

CO

=

20

10 3

=

2

3

．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥ACS=

1

2

QM•PQ=

1

2

(4

3

t-20

3

)(20-2t)=4

3

(15t-t2-50)=-4

3

(t-

15

2

)2+25

3

，
當t=

15

2

時，S有最大值25

3

．…（13分）
綜上，當t=

5

2

或

15

2

時，S的最大值都是25

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)的最值等知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，此題是一道綜合性比較強的習題，難度有點大．