Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于兩點(diǎn)M，N，交y軸于點(diǎn)P，其中M的坐標(biāo)是（a+c，0）。
（1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②若D為拋物線的頂點(diǎn)，判斷△ABC的三邊長(zhǎng)能否取一組適當(dāng)?shù)闹�，使△MND是等腰直角三角形？如能，請(qǐng)求出這組值；如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）證明：∵拋物線y=x2-2ax+b2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（a+c，0）， ∴， ∴， ∴，由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形且∠A=90°；
（2）解：①如圖所示； ∵， ∴MN=3ON即MO=4ON， 又，∴， ∴a+c，是方程的兩根， ∴， ∴， 由（1）知：在△ABC中，∠A=90°， 由勾股定理得，∴sinB=， ②能 由（1）知， ∴頂點(diǎn)D， 過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)則NE=EMDN=DM， 要使△MND為等腰直角三角形，只須ED=MN=EM， ∵， ∴， ∴又c>0，∴c=1， 由于c=a，b=，∴a=，b=， ∴當(dāng)時(shí)，△MNP為等腰直角三角形。