Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（經過原點）與x軸相交于N點，直線y=kx+4與坐標軸分別相交于A、D兩點，與拋物線相交于B（1，m）和C（2，2）兩點，
（1）求直線與拋物線的表達式；
（2）求證：C點是△AOD的外心；
（3）若（1）中的拋物線，在x軸上方的部分，有一動點P（x，y），設∠PON=α，當sinα為何值時，△PON的面積有最大值？
（4）若P點保持（3）中運動路線，是否存在△PON，使得其面積等于△OCN面積的？若存在，求出動點P的位置；若不存在，請說出理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過原點，
∴其表達式可以寫成y=ax²+bx，
∵直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點，
把兩點的坐標代入y=kx+4，得，解得，
∴直線是y=-x+4，兩點是B（1，3），C（2，2），
代入二次函數(shù)的表達式，得，解得，
∴y=-2x²+5x為拋物線的表達式。
（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0），
∴AD=，
而OC=2，
∴OC=AD，
∴C是Rt△AOD的外心。
（3）通過分析知道，P為頂點時，S_△OPN面積最大，
此時，P，
又∵方程-2x²+5x=0的兩根是x₁=0，x₂=，即ON=，
∴OP=，
∴sinα=，
此時△PON有最大面積（底是相同的）。
（4）S_△OCN=ON×2×=ON=，
S_△OPN=·ON·PQ（P是PQ⊥NO的垂足）
，
令S_△OPN：S_△OCN=，
則，
得16x²-40x+9=0，
∴x₁=，x₂=，即兩點分別是P₁，P₂，
即存在P₁、P₂兩點。