Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P為AC邊上的一個動點(diǎn)；PE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△APE與△EBF都與△ABC相似；
（2）當(dāng)P在AC上移動時，能否得到△PCF與△APE相似？若能，問AP為何值時，△CPF與△APE相似；若是不能也請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：分類討論

分析：（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再設(shè)AP=a，利用∠A的余弦表示出AE，再求出BE，利用∠B的余弦求出BF，然后求出CF，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出

CF

PF

，然后求解即可．

解答：（1）證明：∵PE⊥AB，∠C=90°，
∴∠AEP=∠C=90°，
又∵∠PAE=∠BAC，
∴△APE∽△ABC，
∵EF⊥BC，∠C=90°，
∴∠EFB=∠C=90°
又∵∠B=∠B，
∴△EBF∽△ABC；
∴△APE與△EBF都與△ABC相似；

（2）解：由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
設(shè)AP=a，
則AE=AP•cosA=

3

5

a，
所以，BE=5-

3

5

a，
BF=BE•cosB=

4

5

×（5-

3

5

a）=4-

12

25

a，
所以，CF=4-（4-

12

25

a）=

12

25

a，
∵△PCF與△APE相似，
∴

PC

CF

=

AE

PE

，或

PC

CF

=

PE

AE

，
即

3-a

12 25 a

=

3

4

或

3-a

12 25 a

=

4

3

，
解得a=

75

34

或a=

75

41

，
所以，當(dāng)AP=

75

34

或

75

41

時，△PCF與△APE相似．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）利用銳角三角函數(shù)表示出相應(yīng)的邊并分情況討論．