Question

如圖所示，在△ABC中，∠A=60°，BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB．
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）連結(jié)PQ，求∠BQP的度數(shù)．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）由∠A=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，再由線段BP、BQ把∠ABC三等分，線段CP、CQ把∠ACB三等分，得到∠PBC=

1

3

∠ABC，∠PCB=

1

3

∠ACB，于是∠PBC+∠PCB=

1

3

（∠ABC+∠ACB）=

1

3

×120°=40°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠BPC=180°-40°=140°．
（2）由線段BP、BQ把∠ABC三等分，線段CP、CQ把∠ACB三等分，得到∠QBC=

2

3

∠ABC，∠QCB=

2

3

∠ACB，且P點為△QBC的內(nèi)心，即PQ平分∠BPC；于是∠QBC+∠QCB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

×120°=80°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠BQC=180°-80°=100°，即可得到∠BQP的大�。�

解答：解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
又∵線段BP、BQ把∠ABC三等分，
∴∠PBC=

1

3

∠ABC，
又∵線段CP、CE把∠ACB三等分，
∴∠PCB=

1

3

∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

3

（∠ABC+∠ACB）=

1

3

×120°=40°，
∴∠BPC=180°-40°=140°，
（2）∵線段BP、BQ把∠ABC三等分，
∴∠QBC=

2

3

∠ABC，并且BP平分∠QBC；
又∵線段CP、CQ把∠ACB三等分，
∴QPCB=

2

3

∠ACB，并且PC平分∠QCB；
∴∠QBC+∠QCB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

×120°=80°，并且P點為△QBC的內(nèi)心，即QP平分∠BQC，
∴∠BQC=180°-80°=100°，
∴∠BQP=50°．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和為180°．同時考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)心性質(zhì)．