Question

如圖，直線y=hx+d與x軸和y軸分別相交于點A（-1，0），B（0，1），與雙曲線y=在第一象限相交于點C；以AC為斜邊、∠CAO為內(nèi)角的直角三角形，與以CO為對角線、一邊在x軸上的矩形面積相等；點C，P在以B為頂點的拋物線y=mx²+nx+k上；直線y=hx+d、雙曲線y=和拋物線y=ax²+bx+c同時經(jīng)過兩個不同的點C，D。
（1）確定t的值；
（2）確定m，n，k的值；
（3）若無論a，b，c取何值，拋物線y=ax²+bx+c都不經(jīng)過點P，請確定P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）直線過點A，B，則0=-h+d和1=d，即y=x+1，
雙曲線y=經(jīng)過點C（x₁，y₁），x₁y₁=t，
以AC為斜邊，∠CAO為內(nèi)角的直角三角形的面積為×y₁×（1+x₁）；
以CO為對角線的矩形面積為x₁y，
×y₁×（1+x₁）=x₁y₁，
因為x₁，y₁都不等于0，故得x₁=1，所以y₁=2，故有，，即t=2；
（2）∵B是拋物線y=mx²+nx+k的頂點，
∴有-，
得到n=0，k=1，
∵C是拋物線y=mx²+nx+k上的點，
∴有2=m（1）²+1，得m=1；
（3）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為p，則縱坐標(biāo)為p²+1，
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過兩個不同的點C，D，其中求得D點坐標(biāo)為（-2，-1），
故2=a+b+c，
-1=4a-2b+c，
解之得，b=a+1， c=1-2a，
∴y=ax²+（ a+1）x+（1-2a ）
于是：p²+1≠ap²+（a+1）p+（1-2a）
∴無論a取什么值都有p²-p≠（p²+p-2）a，
或者，令p²-p=（p²+p-2）a，
∵拋物線y=ax²+bx+c不經(jīng)過P點，
∴此方程無解，或有解但不合題意，
故∵a≠0，
∴①
解之p=0，p=1，并且p≠1，p≠-2.得p=0. ，
∴符合題意的P點為（0，1），
②，
解之p=1，p=-2，并且p≠0，p≠1. 得p=-2，
符合題意的P點為（-2，5），
∴符合題意的P點有兩個（0，1）和（-2，5）。