Question

如圖：邊長(zhǎng)為1的正△A₁B₁C₁的中心為O，將正△A₁B₁C₁繞中心O旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₂，使得A₂B₂⊥B₁C₁．則兩三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為________．

Answer 1

-
分析：連接OB₁、OC₁、OA₂、OB₂，根據(jù)O為等邊三角形的中心，得出∠A₂OB₂=∠B₁OC₁=120°，求出∠A₂ON=∠C₁OM，根據(jù)ASA證△A₂ON≌△C₁OM，推出ON=OM，推出B₁N=B₂M，設(shè)B₁N=B₂M=x，根據(jù)∠OB₁B=∠OB₁C=30°=∠B₁BN，求出BN=x，推出CN=x，B₁C=x，BB₁=2B₁C=x，同理CD=BC=x+x=x，C₁D=BB₁=x，依題意列方程B₁C+CD+DC₁=1，求x的值，根據(jù)S_{六邊形ABCDEF}=S_△A2B2C2-3S_△B2CD求解．
解答：
連接OB₁、OC₁、OA₂、OB₂，
∵O為等邊三角形的中心，
∴∠A₂OB₂=∠B₁OC₁，
∴都減去∠B₁OB₂得：∠A₂ON=∠C₁OM，
在△A₂ON和△C₁OM中
∵，
∴△A₂ON≌△C₁OM，
∴ON=OM，
∵OB₂=OB₁，
∴B₁N=B₂M，
設(shè)B₁N=B₂M=x，
∵∠OB₁B=∠OB₁C=30°=∠B₁BN，
∴BN=x，
∴CN=x，B₁C=x，BB₁=2B₁C=x，
同理CD=BC=x+x=x，C₁D=BB₁=x
依題意B₁C₁=B₁C+CD+DC₁=1，
x+x+x=1，
x=-1，
∴B₂C=×（-1）=-，CD=×（-1）=-
∴S_{六邊形ABCDEF}=S_△A2B2C2-3S_△B2CD
=×1×-3××（-）×（-），
=-
故答案為：-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)條件，得出特殊三角形，全等三角形，利用“割補(bǔ)法”求面積．