Question

（2013•衡水二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，過點C作CC₁⊥AB于C₁，過點C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，過點C₂作C₂C₃⊥AB于C₃…，按此作法進行下去，則

CnCn+1

CnCn-1

=

2 5

5

（其中n≥2）．

Answer 1

分析：先在△ABC中由勾股定理求出AB=

5

，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出sinB=

AC

AB

=

2

5

=

2 5

5

，然后依次在△BC₁C、△C₂C₁C、△C₃C₂C₁、△C₄C₃C₂中，求出

C1C

CB

=sinB=

2 5

5

；

C1C2

C1C

=sinB=

2 5

5

；

C2C3

C2C1

=sinB=

2 5

5

；

C3C4

C3C2

=sinB=

2 5

5

；同理可得

CnCn+1

CnCn-1

=sinB=

2 5

5

．

解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=

BC2+AC2

=

12+22

=

5

，
∴sinB=

AC

AB

=

2

5

=

2 5

5

．
在△BC₁C中，∵∠BC₁C=90°，
∴sinB=

C1C

CB

=

2 5

5

；
在△C₂C₁C中，∵∠C₁C₂C=90°，
∠C₁CC₂=90°-∠BCC₁=∠B，
∴sin∠C₁CC₂=sinB=

C1C2

C1C

=

2 5

5

；
在△C₃C₂C₁中，∵∠C₂C₃C₁=90°，C₁C₂∥BC，
∴∠C₃C₁C₂=∠B，
∴sin∠C₃C₁C₂=sinB=

C2C3

C2C1

=

2 5

5

；
在△C₄C₃C₂中，∵∠C₃C₄C₂=90°，
∠C₄C₂C₃=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C₄C₂C₃=sinB=

C3C4

C3C2

=

2 5

5

；
同理可得

CnCn+1

CnCn-1

=sinB=

2 5

5

．
故答案為

2 5

5

．

點評：本題主要考查勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行線、垂線的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于熟練運用三角函數(shù)的定義得出sinB=

2 5

5

，然后總結(jié)出規(guī)律．