Question

19．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A、點C到直線l的距離分別是3和4，則該正方形中AC的長是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)可以得出∠ABC=90°，AB=BC，結合∠ABE+∠CBF=90°，進而得出∠ABE=∠BCF，就有△ABE≌△BCF，AE=BF，利用勾股定理即可求出答案．

解答 解：如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF．
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFB}\\{∠ABE=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（AAS），
∴AE=BF．
∵AE=3，
∴BF=3，
在At△BFC中，由勾股定理，得BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
故答案為5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．