Question

9．設(shè)n是正整數(shù)，且使得$\frac{1}{1+n}$+$\frac{1}{4+n}$+$\frac{1}{9+n}$≥$\frac{1}{7}$，求n的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)s=$\frac{1}{1+n}$+$\frac{1}{4+n}$+$\frac{1}{9+n}$≥$\frac{1}{7}$，根據(jù)縮放法得到$\frac{3}{9+n}$＜s＜$\frac{3}{1+n}$，可得$\frac{3}{1+n}$＞$\frac{1}{7}$，解得n的范圍，再?gòu)拇蟮叫≌业椒�合題意的n的最大值．

解答 解：設(shè)s=$\frac{1}{1+n}$+$\frac{1}{4+n}$+$\frac{1}{9+n}$≥$\frac{1}{7}$，
∵n是正整數(shù)，
∴$\frac{1}{1+n}$＞$\frac{1}{4+n}$＞$\frac{1}{9+n}$，
∴$\frac{3}{9+n}$＜s＜$\frac{3}{1+n}$，
則$\frac{3}{1+n}$＞$\frac{1}{7}$，
解得n＜20，
$\frac{1}{7}$≈0.1429，
當(dāng)n=19時(shí)，s=0.1292＜$\frac{1}{7}$；
當(dāng)n=18時(shí)，s=0.1351＜$\frac{1}{7}$；
當(dāng)n=17時(shí)，s=0.1416＜$\frac{1}{7}$；
當(dāng)n=16時(shí)，s=0.1488＞$\frac{1}{7}$；
故n的最大值為16．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是得到n的范圍，以及分類(lèi)思想的運(yùn)用．