Question

1．將一個矩形紙片ABCD放置到平面直角坐標系中，點A、B恰落在x軸的正、負半軸上，若將該紙片沿AF折疊，點B恰好落在y軸上的點E處，設OA=1．
（1）如圖1，若OB=1，則點F的坐標為（1，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．
（2）如圖2，若OB=2，求F的坐標．
（3）若OB=n，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質求出∠FAB=30°，根據正切的定義求出BF的長即可；
（2）作FM⊥y軸于M，根據折疊的性質得到∠AEO=∠EFM，設EM=x，根據正弦的定義用x表示出FM，根據題意列式求出x的值即可；
（3）與（2）的方法類似，根據折疊的性質和正弦的定義解答即可．

解答 解：（1）由折疊的性質可知，AE=AB=2，∠EAF=∠BAF，
∵OA=1，AE=2，
∴∠AEO=30°，
∴∠EAO=60°，
∴∠FAB=30°，
∴BF=AB•tan∠FAB=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
則點F的坐標為（1，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$），
故答案為：（1，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）；
（2）如圖2，作FM⊥y軸于M，
∵∠AEF=∠ABF=90°，F(xiàn)M⊥y軸，
∴∠AEO=∠EFM，
∵sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠EFM=$\frac{1}{3}$，
設EM=x，則EF=3x，
由勾股定理得，MF=2$\sqrt{2}$x，OE=2$\sqrt{2}$，
∵OB=2，
∴2$\sqrt{2}$x=2，
解得，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OM=OE-EM=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴點F的坐標為（2，$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）；
（3）如圖2，作FM⊥y軸于M，
∵∠AEF=∠ABF=90°，F(xiàn)M⊥y軸，
∴∠AEO=∠EFM，
∵sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{1}{n+1}$，
∴sin∠EFM=$\frac{1}{n+1}$，
設EM=x，則EF=（n+1）x，
由勾股定理得，MF=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$x，OE=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$，
∵OB=n，
∴$\sqrt{{n}^{2}+2n}$x=n，
解得，x=$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$，
∴OM=OE-EM=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$-$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$，
∴點F的坐標為（n，$\frac{{n}^{2}+n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$）．

點評 本題考查的是矩形的性質、銳角三角函數的定義、直角三角形的性質以及坐標與圖形的特征，掌握翻折變換的性質、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．