Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x 軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C 點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3a），對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)是M；
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過(guò)C，M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過(guò)A，B，E三點(diǎn)的圓 交直線BC于點(diǎn)F，試判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)B是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時(shí)，（3）中的結(jié)論是否成立？（請(qǐng)直接寫出結(jié)論）

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得 解得 ∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3；
（2）存在， 在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3， 令y=0，得x2-2x-3=0， ∴x1=-1，x2=3， ∴頂點(diǎn)M（1，-4）， 容易求得直線CM的表達(dá)式是y=-x-3， 在y=-x-3中，令y=0，得x=-3， ∴N（-3，0）， ∴AN=2， 在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2， ∴CP=2， ∴AN=CP， ∴四邊形ANCP為平行四邊形， 此時(shí)P（2，-3）；
（3）△AEF是等腰直角三角形， 理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3， ∴直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是D（0，3），B（3，0）， ∴OD=OB， ∴∠OBD=45°， 又∵點(diǎn)C（0，-3）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， 由圖知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°， ∴∠EAF=90°，且AE=AF， ∴△AEF是等腰直角三角形；
（4）當(dāng)點(diǎn)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時(shí)，（3）中的結(jié)論成立。