Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于兩點(diǎn)M，N，交y軸于點(diǎn)P，其中M的坐標(biāo)是（a+c，0）。
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判斷△ABC的三邊長(zhǎng)能否取一組適當(dāng)?shù)闹担�使三角形MND（D為拋物線的頂點(diǎn)）是等腰直角三角形？如能，請(qǐng)求出這組值；如不能，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：∵拋物線y=x2-2ax+b2經(jīng)過點(diǎn)M（a+c，0）， ∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0， ∴， ∴ 由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形； （2）①如圖所示； ∵S△MNP=3S△NOP， ∴MN=3ON即MO=4ON， 又M（a+c，0）， ∴N（，0） ∴a+c，是方程x2-2ax+b2=0的兩根， ∴（a+c）+=2a， ∴c=a， 由（1）知：在△ABC中，∠A=90°， 由勾股定理得b=a， ∴cosC==； ②能； 由（1）知， ∴頂點(diǎn)D（a，-c2）， 過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則NE=EM，DN=DM 要使△MND為等腰直角三角形， 只須ED=MN=EM， ∵M(jìn)（a+c，0），D（a，-c2）， ∴DE=c2，EM=c， ∴c2=c，又c＞0， ∴c=1， 由于， ∴， 當(dāng)時(shí)，△MNP為等腰直角三角形。