Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△OBC的兩條直角邊分別落在x軸、y軸上，且OB=1,OC=3,將△OBC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，將△OBC沿y軸翻折得到△ODC，AE與CD交于點F.

（1）若拋物線過點A、B、C, 求此拋物線的解析式;

（2）求△OAE與△ODC重疊的部分四邊形ODFE的面積;

（3）點M是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點，點M在何處時△AMC的面積最大？最大面積是多少？求出此時點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）過點A,B,C的拋物線的解析式；

（2）S_{四邊形ODFE}= ；

（3）當時，，△AMC的面積有最大值，此時點M的坐標為()．

【解析】

試題分析：（1）由題意易得點A、點B、點C的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出點D及點E的坐標，繼而得出直線AE與直線CD的解析式，聯(lián)立求出點F坐標，根據(jù)S_{四邊形ODFE}=S_△AOE﹣S_△ADF，可得出答案．

（3）連接OM，設(shè)M點的坐標為（m，n），繼而表示出△AMC的面積，利用配方法確定最值，并得出點M的坐標．

試題解析：(1)∵OB=1，OC=3 ，

∴C(0，-3)，B(1，0)，

∵△OBC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，

∴A(-3,0)，

所以拋物線過點A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)，

設(shè)拋物線的解析式為，可得

解得，

∴過點A,B,C的拋物線的解析式；

 (2) ∵△OBC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，△OBC沿y軸翻折得到△COD，

∴E（0，-1），D（-1,0），

可求出直線AE的解析式為,直線DC的解析式為，

∵點F為AE、DC交點，

∴F（，），

∴S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=；

（3）連接OM，設(shè)M點的坐標為，

∵點M在拋物線上，∴，

∴

=

∵，

∴當時，，△AMC的面積有最大值，

所以當點M的坐標為()時，△AMC的面積有最大值．

考點：二次函數(shù)綜合題．