Question

19．在平面直角坐標系內，A、B分別為y軸和x軸上的點，坐標為A（0，a），B（b，0），且滿足a²+b²-8a-8b+32=0．
（1）請判斷△ABO的形狀；
（2）在（1）的條件下，如圖1，延長AB至D點（AB＞BD），以BD為斜邊向下做等腰Rt△BCD，DC延長線交y軸于E點．點M為AD中點，連接MC、MO、OC，試判斷△OMC的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，如圖2，將等腰Rt△BCD繞點B逆時針旋轉一個角度α（0°＜α＜45°），連接AD，記AD中點為M，再連接MC、MO、OC，試判斷△OMC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a²+b²-8a-8b+32=0，可得（a-4）²+（b-4）²=0，根據非負數的性質求出a、b即可解決問題．
（2）如圖1中，連接EM．首先證明四邊形OBCE是矩形，△AED是等腰直角三角形，由△MOE≌△MCD，推出OM=MC，∠OME=∠CMD，推出∠OMC=∠EMD=90°，即可證明．
（3）延長CM到H使得MH=CM，連接OH、AH、AC、HD，DC的延長線交y軸于E．想辦法證明△OAH≌△OBC，即可解決問題．

解答 解：（1）∵a²+b²-8a-8b+32=0，
∴（a-4）²+（b-4）²=0，
∵∴（a-4）²≥0，（b-4）²≥0，
∴a+b=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，∵∠AOB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形．

（2）結論：△OMC是等腰直角三角形．理由如下：
如圖1中，連接EM．

∵△AOB，△BDC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠ADE=45°，∠ABO=∠CBD=45°
∴EA=ED，∠AED=∠OBC=∠BCE=90°，
∴四邊形OBCE是矩形，
∴OE=BC=CD，
∵AM=DM，
∴EM=MD，∠OEM=45°=∠D，EM⊥AD，∠EMD=90°，
在△MOE和△MCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=MD}\\{∠OEM=∠D}\\{OE=CD}\end{array}\right.$，
∴△MOE≌△MCD，
∴OM=MC，∠OME=∠CMD，
∴∠OMC=∠EMD=90°，
∴△OMC是等腰直角三角形．

（3）如圖2中，結論：△OMC是等腰直角三角形．理由如下：
延長CM到H使得MH=CM，連接OH、AH、AC、HD，DC的延長線交y軸于E．

∵AM=MD，MH=MC，
∴四邊形ACDH是平行四邊形，
∴AH=CD=BC，AH∥DE，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=360°-∠EOB-∠BCE=180°，∠1+∠HAO=180°，
∴∠HAO=∠OBC，
在△OAH和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAH=∠OBC}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△OAH≌△OBC，
∴OH=OC，∠AOH=∠BOC，
∴∠HOC=∠AOB=90°，
∵HM=MC，
∴OM⊥CH，OM=MC=MH，
∴△OMC是等腰直角三角形．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、非負數的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．