Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CD到E，使DE＝CD，連接AE．

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）連接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)2.

【解析】

(1)四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)，可得AB=DE， AB//DE ，則四邊形ABDE是平行四邊形；

(2)因為AD=DE=4，則AD=AB=4，四邊形ABCD是菱形，由菱形的性質(zhì)及解直角三角形可得AO=ABsin∠ABO=2，BO=ABcos∠ABO=2， BD=4 ，則AE=BD，利用勾股定理可得OE．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵DE＝CD，

∴AB＝DE．

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）∵AD＝DE＝4，

∴AD＝AB＝4．

∴ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AC⊥BD，，．

又∵∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝30°．

在Rt△ABO中，，．

∴．

∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AE∥BD，．

又∵AC⊥BD，

∴AC⊥AE．

在Rt△AOE中，．