Question

19．若x₁、x₂是關(guān)于x一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x₁、x₂和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x₁+x₂=$-\frac{a}$，x${\;}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$，把它們稱(chēng)為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．已知x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值．
（2）已知等腰△ABC的一腰長(zhǎng)為7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)韋達(dá)定理得x₁+x₂、x₁x₂，再代入到（x₁-1）（x₂-1）=28即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28中解方程可得m的值，兩個(gè)值根據(jù)方程有解考慮取舍；
（2）將x=7代入方程求出m的值，將m的兩個(gè)值分別代回原方程，分別解每一個(gè)方程求出x的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取舍，最后三邊相加可得周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，
∵（x₁-1）（x₂-1）=28，即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28，
∴m²+5-2（m+1）+1=28，解得：m=-4或m=6，
當(dāng)m=-4時(shí)原方程無(wú)解，
∴m=6；
（2）當(dāng)?shù)妊�三角形的腰長(zhǎng)為7時(shí)，即方程的一個(gè)解為7，
將x=7代入原方程得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=10或m=4，
當(dāng)m=10時(shí)，方程為x²-22x+105=0，解得：x=7或x=15，
∵7+7＜15，不能組成三角形；
當(dāng)m=4時(shí)，方程為x²-10x+21=0，解得：x=3或x=7，
此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為：7+7+3=17．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解方程、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理得到此方程的兩根和與兩根積是解題的根本，熟悉方程的解及三角形三邊關(guān)系是第2題的關(guān)鍵．