Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點D為AC邊上一點，且AD=3cm，動點E從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向終點B運動，運動時間為x s．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點F．設BF長為ycm．
（1）當x=________s時，DE⊥AB；
（2）求在點E運動過程中，y與x之間的函數(shù)關系式及點F運動路線的長；
（3）當△BEF為等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=，
故答案為：．

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴=，
∴=，
∴y=-x²+x，
∴y=-x²+x=-（x-2）²+
∴當x=2時，y有最大值=，
∵從運動的過程中可以得出點F運動的路程正好是2BF，
∴點F運動路程為2×=cm，
答：在點E運動過程中，y與x之間的函數(shù)關系式是y=-x²+x，點F運動路線的長為cm．

（3）這里有三種情況：
①如圖，若EF=BF，則∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=，
∵動點E的速度為1cm/s，
∴此時x=；
②如圖，若EF=BE，則∠B=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3，
∵動點E的速度為1cm/s
∴此時x=3；
③如圖，若BF=BE，則∠FEB=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵動點E的速度為1cm/s，
∴此時x=3．
綜上所述，當△BEF為等腰三角形時，x的值為或3或3．
答：x的值為或3或3．
分析：（1）求出∠A=∠B=45°，因為AD=3，由勾股定理求出AE長；
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，證出△ADE∽△BEF，得到=，代入即可；
（3）①如圖，若EF=BF，由相似得到AE=DE=，求出t；②如圖，若EF=BE，由相似求出AE，即可求出t；③若BF=BE，則∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可求出t．
點評：本題主要考查對二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，靈活運用性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵，用的數(shù)學思想是分類討論思想．