Question

3．問題背景：
（1）如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系，請在右面橫線上直接寫出結論EF=BE+DF．
（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結論是否仍然成立？說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

解答 解：（1）EF=BE+DF，理由如下：
如圖①中，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG．
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案為 EF=BE+DF．

（2）結論EF=BE+DF仍然成立；
理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關鍵．